TAREA (REPASO) 1

INSTITUTO TECNOLOGICO DE TIJUANA

1.- EL ÁREA DE UN TRIANGULO CUYOS VÉRTICES SON:

P1 (2, 2,0)
P2 (-1, 0,2)
P3 (0, 4,3)

P1P2= -3,-2,2
P1P3= -2, 2,3

Producto cruzado:

P1P2 X P1P3 =

i , j , k
-3 , -2, 2
-2 , 2 , 3

= ((-2) (3)- (2) (2)) i - ((-3) (3)- (-2) (2)) j –((-2) (-2) - (-3) (2))
= ((-6) - (4)) i – ((-9) - (-4)) j - ((4)- (-6)) k
= -10 i +5 j -10k

// P1P2 X P1P3 //

=√ (-10)2 + (5)2 + (-10)2
= √100 +25 + 100
=√225
=15

Norma:
A= ⅟2 // P1P2 X P1P3 //
A= ⅟2(15)

A= 7.5 u



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Sea:
µ = (2, -1, 3)
v = (0, 1, 7)

w = (1, 4, 5)

a) (µ x v) x (v x w)

(µ x v)=

i , j , k
2 , -1, 3
0 , 1 , 7

= ((-1) (7) - (1) (3)) i - ((2) (7) - (0) (3)) j + ((2) (1) - (0) (-1)) k
= ((-7) - (3)) i - ((14) - (0)) j + ((2) - (0)) k
= -10i, -14j ,+2k

(v x w) =

i , j , k
0 , 1 , 7
1 , 4 , 5

= ((1)(5) - (4)(7)) i - ((0)(5) - (1)(7)) j + ((0)(4) - (1) (1)) k
= ((5)- (28)) i - ((0) - (7)) j + ((0) - (1))k
= -23i ,+7j ,-1k

(µ x v) x (v x w)=

i , j , k
-10 , -14 , +2
-23 , 7 , -1

= ((-14) (-1) - (7)(2)) i - ((-10)(-1) - (-23)(2)) j + ((-10)(7) - (-23)(-14)) k

= ((+14) - (14)) i - ((+10) - (+46)) j + ((-70) - (322)) k

= 0 I, -56 j ,-392 k

b) µ x (v-2w)

w= (1,4,5)

2w=(2,8,10)

(v-2w) = -2,-7,-3

i , j , k
2 , -1 , 3

-2 ,-7 , -3

=((-1)(-3) - (-7)(3)) i - ((2)(-3) - (-2)(3)) j + ((2)(-7) - (-2)(-1)) k

=((3) - (-21)) i - ((-6) - (-6)) j +((-14) - (2)) k

= +24i , 0j, -16k

c) (µ x v) -2w

(µ*v)=

i , j , k
2 , -1 , 3
0 , 1 , 7

=((-1) (7) - (1) (3)) i - ((2)(7) - (0)(3))j + ((2)(1) - (0)(-1)) k

=((-7) - (3)) i - ((14) - (0)) j - ((2) - (0)) k

= -10i, -14j, +2k

w = 1,4,5

2w = 2,8,10

(µ x v) -2w=

-10 , -14,+2

-2, -8, -10

= -12, -22, -8



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Hallar el área del triangulo que tiene vértices P,Q,R

P (2, 0, -3)

Q (1, 4, 5)
R (7, 2,9)

PQ = -1, 4, 8

PR = 5, 2, 12

PQ*PR =

i , j , k
-1, 4 , 8
5 , 2, 12


= ((4) (12)- (2)(8))i - ((-1)(12) - (5)(8))j -((-1) (2) - (5)(4)) k

=((48) - (16)) i- ((-12) - (40))j - ((-2) (-20))k

=32i +52j +22k

// PQ*PR//

= √(32)2 + (52)2 + (22)2
= √1024 + 2704 + 484
= √4212 = 64.89


A = 1/2 // PQ*PR//

A=1/2 (64.89)

A=32.44 u

Coordenadas Cartesianas

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TIJUANA

Coordenadas Cartesianas

Las Coordenadas son grupos de números que describen una posición: posición a lo largo de una línea, en una superficie o en el espacio. La latitud y longitud o la declinación y ascensión recta, son sistemas de coordenadas en la superficie de una esfera.
Ø Coordenadas cartesianas

Son un sistema de coordenadas formado por un eje en la recta, por dos ejes en el plano, tres en el espacio, mutuamente perpendiculares que se cortan en el origen. En el plano, las coordenadas cartesianas o rectangulares (X,Y) se denominan respectivamente abscisa y ordenada.

Las coordenadas de un punto cualquiera vendrán dadas por las proyecciones del segmento entre el origen y el punto sobre cada uno de los ejes.

Ø Coordenadas cartesianas

Para representar en el espacio euclídeo puntos, líneas. Superficies, vectores,.. etc., utilizamos como referencia tres ejes de coordenadas perpendiculares entre sí.

Utilizando como referencia estos ejes se pueden definir varios sistemas de coordenadas, de los cuales el más frecuentemente usado es el de coordenadas cartesianas (nombre dado en honor del filósofo y matemático francés René Descartes, 1596-1650). En este sistema un punto P está determinado por la intersección de 3 superficies (en este caso planos) perpendiculares entre sí (ortogonales) de ecuaciones x = x1, y = y1, z = z1. Decimos que el punto P tiene como coordenadas:: (x1, y1, z1),

Ø Coordenadas cartesianas

Para comenzar considere tres ejes de coordenadas mutuamente perpendiculares (los ejes x, y, z) con sus ceros en un punto común O, llamado origen. Aunque estas líneas se pueden orientar de cualquier forma deseada, seguiremos una costumbre al pensar en los eje y y z como si estuvieran en el plano del papel, con sus direcciones positivas hacia la derecha y hacia arriba, respectivamente. El eje x es entonces perpendicular al papel y suponemos que su extremo positivo apunta hacia nosotros, formando así un sistema de mano derecha. Le llamamos así porque, si los dedos de la mano derecha se doblan de modo que se curven desde el eje x positivo hacia el eje y positivo el pulgar apunta en la dirección del eje z positivo.

Los tres ejes determinan tres planos, los plano yz, xz y xy, que dividen al espacio en ocho octantes. A cada punto P del espacio le corresponde una tercia ordenada de números (x, y, z) sus coordenadas cartesianas, que miden sus distancias dirigidas a los tres planos.
Calculo (octava edición, purcell, varberg, rigdon)
Capitulo 14